Question

【题目】已知P是圆A：上任意一点，B的坐标为，线段BP的垂直平分线和半径AP交于点Q.当点P在圆A上运动时，记点Q的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线不经过点与曲线C交于M，N两点，且直线TM，TN的斜率之和为2，求证：直线l过定点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由已知，结合椭圆定义即可求解

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合方程的根与系数关系及直线，的斜率之和为2可得，进而表示的方程，可证．

解：（Ⅰ）由已知，

所以点Q轨迹为以为A，B焦点，长轴长为4的椭圆，

故，

所以曲线C的方程为.

（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线/的方程为（），

代入整理得，

由题设可知，

设，则.

直线TM，TN的斜率之和为：

，

由已知得，即，

由，得或时满足条件，

此时直线l的方程为，故直线过定点.

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时，

满足条件.

综上，直线l过定点.