Question

【题目】已知函数f（x）=x3（a2+a+2）x2+a2（a+2）x，a∈R．

（1）当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；

（2）求函数y=f（x）的极值点．

Answer 1

【答案】（1）递增区间为（-∞，+∞）；（2）见解析

【解析】

（1）先求解导数，利用导数取值的正负可得单调区间；

（2）先求解导数，结合导数零点情况判断函数极值点的情况.

（1）当a=1时，．∵=x22x+1=（x1）2≥0，

故函数在R内为增函数，单调递增区间为（-∞，+∞）．

（2）∵=x2（a2+a+2）x+a2（a+2）=（xa2）[x（a+2）]，

①当a=1或a=2时，a2=a+2，∵≥0恒成立，函数为增函数，无极值；

②当a＜1或a＞2时，a2＞a+2，

可得当x∈（∞，a+2）时，＞0，函数为增函数；

当x∈（a+2，a2）时，＜0，函数为减函数；

当x∈（a2，+∞）时，＞0，函数为增函数．

当x=a+2时，函数有极大值f（a+2），当x=a2时，函数有极小值f（a2）．

③当1＜a＜2时，a2＜a+2．

可得当x∈（-∞，a2）时，＞0，函数为增函数；

当x∈（a2，a+2）时，＜0，函数为减函数；

当x∈（a+2，+∞）时，＞0，函数为增函数．

当x=a+2时，函数有极小值f（a+2）；当x=a2时，函数有极大值f（a2）．

综上可得：当a=1或a=2时，函数无极值点；当a＜1或a＞2时，函数有极大值点a+2，函数有极小值点a2；当1＜a＜2时，函数有极大值点a2，函数有极小值点a+2.