Question

已知f(x)=

2x-a

2x+1

（a∈R）的图象关于坐标原点对称
（1）求a的值，并求出函数F（x）=f（x）+2^x-

4

2x+1

-1的零点；
（2）若函数h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]内存在零点，求实数b的取值范围
（3）设g(x)=log4

k+x

1-x

，若不等式f^-1（x）≤g（x）在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立，求满足条件的最小整数k的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数的图象关于原点对称，可得f（x）是定义在R的奇函数，图象必过原点，即f（0）=0，求出a的值，求出函数F（x）的解析式，解指数方程求求出函数的零点；
（2）函数h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]内存在零点，方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]内有解，分析函数b=（2^x）²+2^x+1-1在[0，1]内的单调性，及端点的函数值符号，进而根据零点存在定理得到结论．
（3）由不等式f^-1（x）≤g（x）在x∈[

1

2

，

2

3

]上恒成立，利用基本不等式可求出满足条件的k的范围，进而求出最小整数k的值．

解答：解：（1）由题意知f（x）是R上的奇函数，
所以f（0）=0得a=1
∴f(x)=

2x-1

2x+1

∴F（x）=

2x-1

2x+1

+2x-

4

2x+1

-1=

(2x)2+2x-6

2x+1

由（2^x）²+2^x-6=0，可得2^x=2，
所以，x=1，即F（x）的零点为x=1
（2）h(x)=

2x-1

2x+1

+2x-

b

2x+1

=

(2x)2+2x+1-1-b

2x+1

有题设知h（x）=0在[0，1]内有解，即方程（2^x）²+2^x+1-1-b=0在[0，1]内有解
b=（2^x）²+2^x+1-1=（2^x+1）²-2在[0，1]内递增，2≤b≤7
所以当2≤b≤7时函数h(x)=f(x)+2x-

b

2x+1

在[0，1]内存在零点           
（3）由f^-1（x）≤g（x）得log2

1+x

1-x

≤log4

k+x

1-x

k+x≥

(1+x)2

1-x

，显然x∈[

1

2

，

2

3

]时k+x＞0，即k≥

2x2+x+1

1-x

设m=1-x  ，由于x∈[

1

2

，

2

3

]    所以m∈[

1

3

，

1

2

]
于是

2x2+x+1

1-x

=

2m2-5m+4

m

=2m+

4

m

-5∈[4，

23

3

]
所以k≥

23

3

满足条件的最小整数k的值是k=8．

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，函数恒成立问题，基本不等式，函数的最值，是函数图象和性质及函数零点，函数恒成立问题的一个比较复杂的综合应用，难度较大．