Question

7．已知函数$f（x）=2+\frac{1}{a}-\frac{1}{{{a^2}x}}$，实数a≠0．
（1）设mn＞0，判断函数f（x）在区间[m，n]上的单调性，并说明理由；
（2）设n＞m＞0且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值．

Answer 1

分析 （1）分类讨论m，n的符号，先下结论，再证明；
（2）问题转化为方程f（x）=x有两个相异的正实数根m，n，再由一元二次方程根与系数关系和配方法求n-m的最大值．

解答 解：（1）根据题意，由于mn＞0，需分类讨论如下：
当m＞0时，n＞0，函数f（x）在[m，n]上单调递增，
当m＜0时，n＜0，函数f（x）在[m，n]上单调递增，
不妨设，0＜m≤x₁＜x₂≤n，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{a^2}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$）=$\frac{1}{a^2}$•$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
所以，f（x₁）＜f（x₂），
因此，f（x）在[m，n]上单调递增；
（2）f（x）的定义域和值域都是[m，n]，且函数f（x）递增，
所以，$\left\{\begin{array}{l}{f（m）=m}\\{f（n）=n}\end{array}\right.$，即方程f（x）=x有两个相异的正实数根m，n，
因此，2+$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a^2x}$=x，整理得，a²x²-（2a+1）ax+1=0，---①
根据一元二次方程根与系数的关系得，
|m-n|=$\frac{\sqrt{（2a+1）^2a^2-4a^2}}{a^2}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{a}-\frac{2}{3}）^2+\frac{16}{3}}$，
当a=$\frac{3}{2}$时，|m-n|_max=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
经检验，当a=$\frac{3}{2}$时，方程①有两相异正实根，符合题意，
因此，n-m的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了函数单调性的判断和证明，以及一元二次方程根与系数关系，二次函数最值，属于中档题．