Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx﹣x﹣ （a∈R），在定义域内有两个不同的极值点x1 ， x2（x1＜x2）．
（ I）求a的取值范围；
（ II）求证：x1+x2＞2e．

Answer 1

【答案】解：（I）令g（x）=f'（x）=lnx﹣ax，

由题意可知，g（x）=0在（0，+∞）上有两个不同根x1，x2，且x1＜x2，

∵g′（x）= ，

a≤0时，g′（x）≥0，y=g（x）在（0，+∞）递增，不合题意，

当a＞0时，令g′（x）=0，解得：x= ，

∴g（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，

而x→0时，g（x）→﹣∞，x→+∞时，g（x）→﹣∞，

故g（x）max=g（ ）=﹣lna﹣1＞0，解得：0＜a＜

（II）由题意及（I）可知，即证 ，

设h（x）=lnx﹣ ，（x＞1），则h′（x）= ＞0，

∴h（x）在（1，+∞）递增，

∴h（x）＞h（1）=0，

∴lnx＞ ，（x＞1），

令x= ＞1，则原不等式成立

【解析】第一问根据函数f(x)有两个极值点，可得f(x)的导数g（x）等于0有两个不同的正解；再求函数g（x）的导数g′（x）确定函数g（x）的单调性，根据题意可得g（x）的最大值大于0，可得。
第二问是双参问题，需要消参，根据x1，x2是函数g（x）=0的两个解，可得,,两式相减，可得a,然后根据所证消a.再根据不等式，除以，得到,后令 ，构造h（x）利用单调性求最值即可。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．