Question

已知0≤θ≤

π

2

，回答以下问题：
（1）若sinθ+cosθ=t，求t的取值范围；
（2）将sinθ•cosθ用t表示．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式进行化简后，再由θ的范围求出θ+

π

4

的范围，根据正弦函数的性质求出t的范围；
（2）利用同角三角函数的基本关系即（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ进行化简后，再用t表示出来．

解答：解：（1）∵0≤θ≤

π

2

，
∴

π

4

≤θ+

π

4

≤

3π

4

，
∴t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]，
故t的取值范围是区间[1，

2

]；
（2）∵（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ
∴sinθ•cosθ=

1

2

[(sinθ+cosθ)2-1]=

1

2

(t2-1)，t∈[1，

2

]．

点评：本题考查了三角函数的变换以及正弦函数的性质应用，需要根据两角和差的正弦（余弦）公式，或根据同角的基本关系进行化简，再利用正弦函数的性质求解．