Question

有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表：已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为

2

7

．
（Ⅰ）请完成下面的2×2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关”；
（Ⅱ）从全部210人中有放回抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

	优秀	非优秀	总计
甲班	20
乙班		60
合计			210

附：x²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P=（x2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

Answer 1

分析：（I）假设H₀：“成绩与班级无关”．由于从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为

2

7

，可得优秀的人数=210×

2

7

．即可得到乙班优秀的人数，甲班非优秀的人数，利用K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

计算出K²与6.635比较即可得出结论．
（II）由题意可知：ξ～B（3，

2

7

），即可得出其分布列和数学期望．

解答：解：（I）假设H₀：“成绩与班级无关”．
∵从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为

2

7

，
∴优秀的人数=210×

2

7

=60．
∴乙班优秀的人数=60-20=40，
甲班非优秀的人数=210-60-60=90．
∴K²=

210×(20×60-40×90)2

(20+90)×(40+60)×(20+40)×(90+60)

=12.218＞6.635，
∴P（K²≥6.635）≈0.01．
因此假设不成立．
故认为“成绩与班级有关”；
（II）由题意可知：ξ～B（3，

2

7

）．
∴P（ξ=i）=

C

i 3

(

2

7

)i(

5

7

)3-i（i=0，1，2，3）．
∴Eξ=3×

2

7

=

6

7

．

点评：本题考查了独立性检验、二项分布列及其数学期望，属于中档题．