Question

已知y=f(x)(x∈D，D为此函数的定义域)同时满足下列两个条件：①函数f(x)在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]D，使函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f(x)，x∈D为闭函数；请解答以下问题：
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间；
（2）判断函数是否为闭函数？并说明理由；
（3）若y=k+(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围。

Answer 1

解：（1）先证y=-x³符合条件①：对于任意，且，
有
，
∴，故y=-x³是R上的减函数，
由题意得：，则，
∴而，
∴a+b=0，
又b＞a，
∴a=-1，b=1，即所求区间为[-1，1]。
（2）当在上单调递减，在上单调递增，（证明略）；
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数。
（3）易知是上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为，
则，故a，b是的两个不等根，
即方程组 有两个不等非负实根；
设为方程的二根，则，
解得：，
∴k的取值范围是。