题目内容

已知： $数学公式$ =（x，4，1）， $数学公式$ =（-2，y，-1）， $数学公式$ =（3，-2，z）， $数学公式$ ∥ $数学公式$ ， $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，求：
（1） $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ；
（2）（ $数学公式$ + $数学公式$ ）与（ $数学公式$ + $数学公式$ ）所成角的余弦值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解得x=2，y=-4，
故 $\text{[math]}$ =（2，4，1）， $\text{[math]}$ =（-2，-4，-1），
又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =0，即-6+8-z=0，解得z=2，
故 $\text{[math]}$ =（3，-2，2）
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ =（5，2，3）， $\text{[math]}$ =（1，-6，1），
设向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为θ，
则cosθ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）由向量的平行和垂直可得关于xyz的关系式，解之即可得向量坐标；
（2）由（1）可得向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的坐标，进而由夹角公式可得结论．
点评：本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．

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