Question

已知：

a

=（x，4，1），

b

=（-2，y，-1），

c

=（3，-2，z），

a

∥

b

，

b

⊥

c

，求：
（1）

a

，

b

，

c

；
（2）（

a

+

c

）与（

b

+

c

）所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由向量的平行和垂直可得关于xyz的关系式，解之即可得向量坐标；
（2）由（1）可得向量

a

+

c

与

b

+

c

的坐标，进而由夹角公式可得结论．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，∴

x

2

=

4

y

=

1

-1

，解得x=2，y=-4，
故

a

=（2，4，1），

b

=（-2，-4，-1），
又因为

b

⊥

c

，所以

b

•

c

=0，即-6+8-z=0，解得z=2，
故

c

=（3，-2，2）
（2）由（1）可得

a

+

c

=（5，2，3），

b

+

c

=（1，-6，1），
设向量

a

+

c

与

b

+

c

所成的角为θ，
则cosθ=

5-12+3

38 • 38

=-

2

19

点评：本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．