题目内容

数列{an}，前n项和Sn，满足a1=
1
2
，Sn+2an+1=1(n∈N*)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nSn}前n项和Tn．
（1）∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴Sn-1+2an=1（n≥2）
两式相减可得，Sn-Sn-1+2an+1-2an=0
即2an+1=an
∴
an+1
an
=
1
2

∵a1=
1
2

∴数列{an}是以
1
2
为首项以
1
2
为公比的等比数列
∴an=
1
2
•(
1
2
)n-1=(
1
2
)n
（2）：∵Sn+2an+1=1(n∈N*)
∴Sn+2•(
1
2
)n+1=1
∴Sn=1-(
1
2
)n
∴nSn=n-n•(
1
2
)n
令Sn=1•
1
2
+2•(
1
2
)2+…+n•(
1
2
)n
则
1
2
Sn=(
1
2
)2+2•(
1
2
)3+…+(n-1)•(
1
2
)n+n•(
1
2
)n+1
两式相减可得，
1
2
Sn=
1
2
+(
1
2
)2+…+(
1
2
)n-n•(
1
2
)n+1
=
1
2
(1-
1
2n
)
1-
1
2
-n•(
1
2
)n+1
∴Sn=2-
1
2n-1
-
n
2n
=2-
2+n
2n

∴Tn=1-1•
1
2
+2-2•(
1
2
)2+…+n-n•(
1
2
)n
=(1+2+3+…+n)-[1•
1
2
+2•(
1
2
)2+…+n•(
1
2
)n]
=
n(n+1)
2
-2+
2+n
2n
练习册系列答案
相关题目
在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn，并证明：不等式Sn+1≤4Sn．
设正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2（n∈N*），
（1）求a2以及数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n个数组成一个公差为dn的等差数列．
（ⅰ）求证：
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+…+
1
dn
＜
15
16
（n∈N*）；
（ⅱ）求证：在数列{dn}中不存在三项dm，ds，dt成等比数列．（其中m，s，t依次成等比数列）
设等比数列{an}的公比q≠1，Sn表示数列{an}的前n项的和，Tn表示数列{an}的前n项的乘积，Tn（k）表示{an}的前n项中除去第k项后剩余的n-1项的乘积，即Tn（k）=
Tn
ak
（n，k∈N+，k≤n），则数列
SnTn
Tn(1)+Tn(2)+…+Tn(n)
的前n项的和是
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
a12
2-q-q-1
（n+nq-
q-qn+1+1-q1-n
1-q
）
（用a1和q表示）
若数列{an}的前n项和公式为Sn=log3（n+1），则a5等于（　　）
（2012•商丘二模）数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：
1
2
，
1
3
，
2
3
，
1
4
，
2
4
，
3
4
，
1
5
，
2
5
，
3
5
，
4
5
…，
1
n
，
2
n
，…，
n-1
n
，…有如下运算和结论：
①a24=
3
8
；
②数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…是等比数列；
③数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，…的前n项和为Tn=
n2+n
4
；
④若存在正整数k，使Sk＜10，Sk+1≥10，则ak=
5
7
．
其中正确的结论是
①③④
①③④
．（将你认为正确的结论序号都填上）

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