Question

已知甲、乙两个袋子中各装有大小、形状完全相同的4个小球，其中甲袋中有2个红球和2个黄球，乙袋中有3个红球和1个黄球．现从甲袋中随机摸取2个球装入乙袋中，再从乙袋中随机摸取2个球装入甲袋，此时甲袋中红球的个数记为随机变量ξ．
（Ⅰ）求此时乙袋中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望Eξ

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）利用古典概型的概率公式，即可求此时乙袋中恰有1个红球的概率；
（Ⅱ）ξ的取值为1，2，3，4，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）乙袋中恰有1个红球的概率P=

C 0 2

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

1

30

．             …（5分）
（Ⅱ）由已知，ξ的取值为1，2，3，4．…（6分）
其中P(ξ=1)=

C 2 2

C 2 4

•

C 1 5 C 1 1

C 2 6

+

C 1 2 C 1 2

C 2 4

•

C 2 2

C 2 6

=

9

90

=

1

10

；…（7分）
P(ξ=2)=

C 2 2

C 2 4

•

C 2 5

C 2 6

+

C 1 2 C 1 2

C 2 4

•

C 1 4 C 1 2

C 2 6

+

C 0 2

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

45

90

=

1

2

；…（8分）
P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 2

C 2 4

•

C 2 4

C 2 6

+

C 0 2

C 2 4

•

C 1 3 C 1 3

C 2 6

=

33

90

=

11

30

；…（9分）
P（ξ=4）=

C 0 2

C 2 4

•

C 2 3

C 2 6

=

3

90

=

1

30

．…（10分）
所以ξ分布列为

ξ	1	2	3	4
P	1 10	1 2	11 30	1 30

…（12分）
所以随机变量ξ的数学期望Eξ=1×

1

10

+2×

1

2

+3×

11

30

+4×

1

30

=

7

3

． …（14分）

点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．