Question

（本小题满分12分）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，侧棱AA1⊥面ABC，D、E分别是棱A1B1、AA1的中点，点F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC1；

（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

 

Answer 1

（1）EF∥平面BDC1 ；（2）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）如图，取的中点M，，为的中点，又为的中点，∴，

在三棱柱中，分别为的中点，，且，则四边形A1DBM为平行四边形，，，又平面，平面，平面．（2）连接DM，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，∴，，．设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，则由得取，又由得取，则，故二面角E－BC1－D的余弦值为．

试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点M，，

为的中点，又为的中点，∴，

在三棱柱中，分别为的中点，

，且，

则四边形A1DBM为平行四边形，，

，又平面，平面，

平面．5分

（Ⅱ）连接DM，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，

∴，，．

设面BC1D的一个法向量为，面BC1E的一个法向量为，

则由得取，

又由得取，

则， 11分

故二面角E－BC1－D的余弦值为． 12分

考点：1．线面平行；2．二面角的求解