Question

【题目】已知函数，.

（1）若恒成立，求a的取值范围；

（2）当时，函数的图像与直线是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由；

（3）当时，有且，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）有公共点，公共点为；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用分离常数法，结合导数，求得的取值范围.

（2）由构造函数，利用导数研究的零点，由此判断出函数的图像与直线有公共点，并求得公共点.

（3）当时，求得的极值点，构造函数，利用导数研究的单调性，结合，确定的大小关系，进而证得不等式成立.

依题意，的定义域为.

（1）由于恒成立，即恒成立，即恒成立.

令，，

所以，

即在区间上递减，在上递增，

所以的最小值为，

所以.

（2）当时，，令，

构造函数，

，

所以当时，，递增，当时，，递减.

所以在时取得极小值也即是最小值，所以有唯一零点，所以方程有唯一解，故函数的图像与直线有公共点.

（3）当时，，，

所以当时，，递减；当时，，递增.所以当时，取得极小值也即是最小值.

依题意且，不妨设.

构造函数，

则，

，

所以在区间上递减，而，

所以时，，即；

当时，，即

由于，所以.

，

即，由于在上递增，所以.