Question

6．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_m-1=-2，S_m=0，S_m+1=3，其中m≥2，则nS_n的最小值为（　　）

• A． -3
• B． -5
• C． -6
• D． -9

Answer 1

分析 由等差数列性质求出a1=-2，d=1，由此利用导数性质能求出nS_n的最小值．

解答 解：由Sm-1=-2，Sm=0，Sm+1=3，得am=2，am+1=3，所以d=1，因为Sm=0，故ma1+$\frac{m（m-1）}{2}$d=0，故a1=-$\frac{（m-1）}{2}$，
因为am+am+1=5，
故am+am+1=2a1+（2m-1）d=-（m-1）+2m-1=5，解得m=5．
所以${a}_{1}=-\frac{5-1}{2}$=-2，
nS_n=n（-2n+$\frac{n（n-1）}{2}×1$）=$\frac{1}{2}$n³-$\frac{5}{2}$n²，
设f（n）=$\frac{1}{2}$n³-$\frac{5}{2}$n²，则${f}^{'}（n）=\frac{3}{2}{n}^{2}-5n$，由f′（n）=0，得n=$\frac{10}{3}$或n=0，
由n∈N^*，得当n=3时，nS_n取最小值$\frac{1}{2}×27-\frac{5}{2}×9$=-9．
故选：D．

点评 本题考查等差数列的项数n与前n项积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、导数的性质的合理运用．