题目内容

（理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则
lim
n→+∞
(
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
an-1
)=______．
∵当n≥2时，有a1+a2+…+an-1+an=n3，
a1+a2+…+an-1=（n-1）3，
两式相减，得an=3n2-3n+1，
∴
1
an-1
=
1
3n(n-1)
=
1
3
（
1
n-1
-
1
n
），
∴
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
an-1
，
=
1
3
（1-
1
2
）+
1
3
（
1
2
-
1
3
）+…+
1
3
（
1
n-1
-
1
n
），
=
1
3
（1-
1
n
）．
∴
lim
n→+∞
(
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
an-1
)
=
lim
n→∞
1
3
(1-
1
n
)
=
1
3
．
故答案为：
1
3
．
练习册系列答案
相关题目
（理）已知函数f（x）=x2+aln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（2）证明：a=1时，对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞
5
2
；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
恒成立．
（2007•静安区一模）（理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则
lim
n→+∞
(
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
an-1
)=
1
3
1
3
．
（理）已知函数f（x）=x2+aln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（2）证明：a=1时，对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2，都有；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．
（理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则=    ．

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