Question

（2007•静安区一模）（理）已知对于任意正整数n，都有a₁+a₂+…+a_n=n³，则

lim

n→+∞

(

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

)=

1

3

．

Answer 1

分析：先根据n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n³，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）³，把两式相减，得出a_n的表达式，再根据

1

an-1

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

）进行解答即可．

解答：解：∵当n≥2时，有a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n³，
a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）³，
两式相减，得a_n=3n²-3n+1，
∴

1

an-1

=

1

3n(n-1)

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

，
=

1

3

（1-

1

2

）+

1

3

（

1

2

-

1

3

）+…+

1

3

（

1

n-1

-

1

n

），
=

1

3

（1-

1

n

）．
∴

lim

n→+∞

(

1

a2-1

+

1

a3-1

+…+

1

an-1

)
=

lim

n→∞

1

3

(1-

1

n

)
=

1

3

．
故答案为：

1

3

．

点评：本题考查的是部分分式，属规律性题目，能根据题意得出

1

an-1

=

1

3

（

1

n-1

-

1

n

）是解答此题的关键．