题目内容

（理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则=    ．
【答案】分析：先根据n≥2时，a1+a2+…+an-1+an=n3，a1+a2+…+an-1=（n-1）3，把两式相减，得出an的表达式，再根据 =（ -）进行解答即可．
解答：解：∵当n≥2时，有a1+a2+…+an-1+an=n3，
a1+a2+…+an-1=（n-1）3，
两式相减，得an=3n2-3n+1，
∴==（ -），
∴++…+，
=（1-）+（ -）+…+（ ），
=（1-）．
∴
=
=．
故答案为：．
点评：本题考查的是部分分式，属规律性题目，能根据题意得出 =（ -）是解答此题的关键．
练习册系列答案
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（理）已知函数f（x）=x2+aln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（2）证明：a=1时，对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞
5
2
；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
恒成立．
（2007•静安区一模）（理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则
lim
n→+∞
(
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
an-1
)=
1
3
1
3
．
（理）已知函数f（x）=x2+aln（x+1）．
（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（2）证明：a=1时，对于任意的x1，x2∈[1，+∞），且x1≠x2，都有；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．
（理）已知对于任意正整数n，都有a1+a2+…+an=n3，则
lim
n→+∞
(
1
a2-1
+
1
a3-1
+…+
1
an-1
)=______．

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