Question

若数列{a_n}的项构成的新数列{a_n+1-Ka_n}是公比为l的等比数列，则相应的数列{a_n+1-1a_n}是公比为k的等比数列，运用此性质，可以较为简洁的求出一类递推数列的通项公式，并简称此法为双等比数列法．已知数列{a_n}中，a1=

3

5

，a2=

31

100

，且an+1=

1

10

an+

1

2n+1

．
（1）试利用双等比数列法求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用an+1-

1

10

an=

1

2n+1

，判断{an+1-

1

10

an}是公比为

1

2

的等比数列，求出an+1-

1

2

an=(

1

10

)n+1，然后求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用拆项法，把通项分解为两个等比数列，然后求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）有条件知：an+1-

1

10

an=

1

2n+1

，①
所以{an+1-

1

10

an}是公比为

1

2

的等比数列，
故{an+1-

1

2

an}是以首项为a2-

1

2

a1=

1

100

，公比为

1

10

的等比数列，
所以：an+1-

1

2

an=(

1

10

)n+1，②
由①、②得an=

5

2

(

1

2n+1

-

1

10n+1

)．
（2）S_n=a₁+a₂+…+a_n
═

5

2

(

1

4

1

102

)+

5

2

(

1

23

-

1

103

)+…+ 

5

2

(

1

2n+1

-

1

10n+1

)
=

5

2

[(

1

4

+

1

23

+…+

1

2n+1

)-(

1

102

+

1

103

+…+

1

10n+1

)]
=

11

9

+

1

36

•

1

10n

-

5

4

•

1

2n

．

点评：本题主要考查等比数列的判断，数列求和的拆项法、等比数列的前n项和公式．考查学生的运算能力．