题目内容

F(x)=(x+
1
x
)f(x)(x≠0)是偶函数，且f（x）不恒等于零，则f（x）（　　）
分析：通过已知函数的奇偶性，利用奇偶性的定义判断f（x）的奇偶性即可．
解答：解：因为F(x)=(x+
1
x
)f(x)(x≠0)是偶函数，
所以F(-x)=(-x-
1
x
)f(-x)=(x+
1
x
)f(x)=F(x)，
所以f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
故选A．
点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x+
1x

（1）求函数y=f（x）的定义域；
（2）判断函数y=f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断函数y=f（x）在区间（1，+∞）的单调性并证明．
下面对命题“函数f（x）=x+
1
x
是奇函数”的证明不是综合法的是（　　）
已知函数f(x)=|x-
1x
|．
（1）证明f（x）的奇偶性；
（2）当x＞0时，试写出f（x）的单调区间并用定义证明；
（3）试在所给的坐标系中作出函数f（x）的图象．
（2011•顺义区二模）对于定义域分别为M，N的函数y=f（x），y=g（x），规定：
函数h(x)=
f(x)•g(x)，当x∈M且x∈N
f(x)，当x∈M且x∉N
g(x)，当x∉M且x∈N

（1）若函数f(x)=
1
x+1
，g(x)=x2+2x+2，x∈R，求函数h（x）的取值集合；
（2）若f（x）=1，g（x）=x2+2x+2，设bn为曲线y=h（x）在点（an，h（an））处切线的斜率；而{an}是等差数列，公差为1（n∈N*），点P1为直线l：2x-y+2=0与x轴的交点，点Pn的坐标为（an，bn）．求证：
1
|P1P2|2
+
1
|P1P3|2
+…+
1
|P1Pn|2
＜
2
5
；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，2π]，请问，是否存在一个定义域为R的函数y=f（x）及一个α的值，使得h（x）=cosx，若存在请写出一个f（x）的解析式及一个α的值，若不存在请说明理由．
下面对命题“函数f（x）=x+
1
x
是奇函数”的证明不是综合法的是（　　）
A．?x∈R且x≠0有f（-x）=（-x）+
1
-x
=-（x+
1
x
）=-f（x），∴f（x）是奇函数
B．?x∈R且x≠0有f（x）+f（-x）=x+
1
x
+（-x）+（-
1
x
）=0，∴f（x）=-f（-x），∴f（x）是奇函数
C．?x∈R且x≠0，∵f（x）≠0，∴
f(-x)
f(x)
=
-x-
1
x
x+
1
x
=-1，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数
D．取x=-1，f（-1）=-1+
1
-1
=-2，又f（1）=1+
1
1
=2

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