Question

已知函数f(x)=|x-

1

x

|．
（1）证明f（x）的奇偶性；
（2）当x＞0时，试写出f（x）的单调区间并用定义证明；
（3）试在所给的坐标系中作出函数f（x）的图象．

Answer 1

分析：（1）求出函数的定义域为D关于原点对称，任取x∈D，都有f（-x）=f（x），从而得到f（x）为偶函数．
（2）[1，+∞）为增区间，（0，1]为减区间，利用函数在区间上的单调性的定义进行证明．
（3）根据函数的奇偶性和单调性的特征，作出函数的图象．

解答：解：（1）函数的定义域为D=（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．（1分）
任取x∈D，都有f(-x)=|-x-

1

-x

|=f（x），所以f（x）为偶函数．--（2分）
（2）[1，+∞）为增区间，（0，1]为减区间．----------------（2分）
任取1≤x₁＜x₂，f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)，
∵1≤x₁＜x₂，∴x1-x2＜0，1+

1

x1x2

＞0，∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上为增函数．
同理可证（0，1]上为减函数．-------（2分）
（3）f（x）的图象如图所示：---------（3分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，作函数的图象，属于基础题．