题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线y=kx+
2
与椭圆C交于A、B两点，求K的取值范围；
（3）若以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，求k的取值范围．
分析：（1）设椭圆的半焦距为c，根据椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
，可求椭圆C的方程；
（2）将直线y=kx+
2
代入椭圆C的方程
x2
3
+y2=1，可得(1+3k2)x2+6
2
kx+3=0，根据直线y=kx+
2
与椭圆C交于A、B两点，可得
1+3k2≠0
△=(6
2
k)2-12(1+3k2)=12(3k2-1)＞0
，从而可求k的取值范围．
（3）以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，则点O在圆外．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2＞0，利用韦达定理，由此可求k的取值范围．
解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，则由题意
∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，短轴一个端点到右焦点的距离为
3
．
∴
c
a
=
6
3
a=
3
，∴c=
2
，∴b=
a2-c2
=1
∴椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1；
（2）将直线y=kx+
2
代入椭圆C的方程
x2
3
+y2=1，可得(1+3k2)x2+6
2
kx+3=0
∵直线y=kx+
2
与椭圆C交于A、B两点
∴
1+3k2≠0
△=(6
2
k)2-12(1+3k2)=12(3k2-1)＞0

∴k2＞
1
3

∴k＞
3
3
或k＜-
3
3
；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∵x1+x2=
-6
2
k
1+3k2
，x1x2=
3
1+3k2

∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+
2
)(kx2+
2
)
=(k2+1)x1x2+
2
k(x1+x2)+2
=(k2+1)×
3
1+3k2
+
2
k×
-6
2
k
1+3k2
+2=
5-3k2
1+3k2
＞0
∴5-3k2＞0
∵k2＞
1
3

∴
1
3
 ＜k2＜
5
3

∴
3
3
＜k＜
15
3
或
-
15
3
＜k＜-
3
3
点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是将以AB为直径作圆，过点O作圆的切线可作两条，转化为点O在圆外
练习册系列答案
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已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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