Question

在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ丄l于Q点，且•
(I )求动点P的轨迹E的方程；
(II)过点P作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y₀>4时，试用y₀表示线段BC的长，并求ΔPBC面积的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）的最小值为32．

（Ⅰ）设出点的坐标，根据条件列式化简即可；（Ⅱ）先求出切线方程，然后利用弦长公式求出三角形的底边，然后利用点到直线的距离求出高，进一步求出面积的最值
（Ⅰ）设，则，∵，
∴． …………………2分
即，即，
所以动点的轨迹的方程． …………………………4分
（Ⅱ）解法一：设，不妨设．
直线的方程:，化简得 ．
又圆心到的距离为2， ，        
故，易知，上式化简得， 同理有．　…………6分　
所以，，…………………8分
则．
因是抛物线上的点，有，
则 ，． ………………10分
所以．
当时，上式取等号，此时．
因此的最小值为32． ……………………12分 
解法二：设, 则，、的斜率分别为、，
则：，令得，同理得；
所以，……………6分
下面求,由到：的距离为2，得，
因为，所以，化简得，
同理得…………………8分
所以、是的两个根.
所以
，，
，……………10分
所以．
当时，上式取等号，此时．
因此的最小值为32．