Question

设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，证明对任意的 ，不等式

恒成立．

Answer 1

解析:

（Ⅰ）解：依题意，，即，

由此得．

因此，所求通项公式为，．……………………5分

（Ⅱ）证明：由已知，

则，所以

.……………………7分

下面用数学归纳法证明不等式

成立.

①当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. …………………8分

②假设当时不等式成立,即

成立.

则当时,左边

=

．……………………………………………………………………………11分

要证成立，

只需证成立，

由于，

只需证成立，

只需证成立，

只需证成立，

由于，所以成立．

即

成立.

所以当时,不等式也成立.

由①，②可得不等式恒成立. ………………………………………………………………14分