题目内容
（1）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
（2）证明：a4+b4+c4+d4≥4abcd．
分析：（1）利用a+b=1将要证不等式中的1代换，即可得证．
（2）利用a2+b2≥2ab两两结合即可求证，但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．
（2）利用a2+b2≥2ab两两结合即可求证，但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．
解答：解：（1）方法一：∵a＞0，b＞0，a+b=1
∴
+
=
+
=2+
+
≥2+2
=4
（当且仅当a=b=
时等号成立）．∴
+
≥4．∴原不等式成立．
方法二：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴
+
=(a+b)(
+
)=2+
+
≥2+2
=4．∴
+
≥4
（当且仅当a=b=
时等号成立）．∴原不等式成立．
（2）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2（a2b2+c2d2）≥2•2abcd=4abcd．
故原不等式得证，等号成立的条件是a2=b2且c2=d2且a2b2=c2d2．
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| a+b |
| a |
| a+b |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
|
（当且仅当a=b=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
方法二：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
|
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
（当且仅当a=b=
| 1 |
| 2 |
（2）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2（a2b2+c2d2）≥2•2abcd=4abcd．
故原不等式得证，等号成立的条件是a2=b2且c2=d2且a2b2=c2d2．
点评：本题考查了利用均值不等式证明不等式，灵活运用了“1”的代换，同时要注意等号成立的条件．
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