题目内容
（1）已知a＞0，b＞0，求证：
≥
；
（2）已知a＞1，b＞1，且a＞b，试比较a+
与b+
的大小．
|
| a+b |
| 2 |
（2）已知a＞1，b＞1，且a＞b，试比较a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
分析：（1）由基本不等式得到2（a2+b2）≥a2+2ab+b2进一步有：
≥
；
（2）由于a+
-(b+
)=(a-b)+(
-
)=(a-b)+
=(a-b)(1-
)=(a-b)•
，下面利用条件证明(a-b)•
＞0即可．
|
| a+b |
| 2 |
（2）由于a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| b-a |
| ab |
| 1 |
| ab |
| ab-1 |
| ab |
| ab-1 |
| ab |
解答：解：（1）a2+b2≥2ab⇒2（a2+b2）≥a2+2ab+b2
⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒
≥(
)2…（3分）
由于a＞0，b＞0⇒a+b＞0，故
≥
…（4分）
（2）解：由于a+
-(b+
)=(a-b)+(
-
)
=(a-b)+
=(a-b)(1-
)=(a-b)•
，…（8分）
因为a＞1，b＞1⇒ab＞1⇒ab-1＞0且ab＞0，又a＞b⇒a-b＞0，
所以(a-b)•
＞0．
故a+
＞b+
…（10分）
⇒2(a2+b2)≥(a+b)2⇒
| a2+b2 |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
由于a＞0，b＞0⇒a+b＞0，故
|
| a+b |
| 2 |
（2）解：由于a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
=(a-b)+
| b-a |
| ab |
| 1 |
| ab |
| ab-1 |
| ab |
因为a＞1，b＞1⇒ab＞1⇒ab-1＞0且ab＞0，又a＞b⇒a-b＞0，
所以(a-b)•
| ab-1 |
| ab |
故a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
点评：本题主要考查了基本不等式、不等式比较大小，属于基础题，解答的关键是需要同学们对不等式的证明方法非常熟练．
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