Question

（1）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
（2）证明：a⁴+b⁴+c⁴+d⁴≥4abcd．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a+b=1将要证不等式中的1代换，即可得证．
（2）利用a²+b²≥2ab两两结合即可求证，但需两次利用不等式，注意等号成立的条件．
解答：解：（1）方法一：∵a＞0，b＞0，a+b=1
∴
（当且仅当a=b=时等号成立）．∴．∴原不等式成立．
方法二：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴
（当且仅当a=b=时等号成立）．∴原不等式成立．
（2）a⁴+b⁴+c⁴+d⁴≥2a²b²+2c²d²=2（a²b²+c²d²）≥2•2abcd=4abcd．
故原不等式得证，等号成立的条件是a²=b²且c²=d²且a²b²=c²d²．
点评：本题考查了利用均值不等式证明不等式，灵活运用了“1”的代换，同时要注意等号成立的条件．