Question

（2012•安徽模拟）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=a，AA1=

2

a，D、E、M分别为棱AB、BC、AA₁的中点．
（1）求证：A₁B₁⊥C₁D；
（2）求点C到平面MDE的距离．

Answer 1

分析：（1）证明A₁B₁⊥C₁D，证明A₁B₁⊥平面CDC₁，即可得到结论；
（2）△MDE的面积为

3 a2

8

，四面体M-CDE的体积为

2

48

a3，由等体积法可得结论．

解答：（1）证明：∵AB⊥CD，AB⊥CC₁，CD∩CC₁=C，∴AB⊥平面CDC₁，
∵A₁B₁∥AB，∴A₁B₁⊥平面CDC₁，
∵C₁D?平面CDC₁，
∴A₁B₁⊥C₁D；
（2）解：设点C到平面MDE的距离为d，则△MDE的面积为

3 a2

8

四面体M-CDE的体积为

1

3

×

1

2

×

a

2

×

a

2

×

2

2

a=

2

48

a3
由等体积法可得

2

48

a3=

1

3

×

3 a2

8

×d
∴d=

6

6

a．

点评：本题考查线面垂直，考查点到面的距离，解题的关键是利用线面垂直证明线线线垂直，利用等体积法求点到面的距离．