Question

已知三次函数f(x)=

a

3

x3+

b

2

x2+cx+d(a＜b)在R上单调递增，则

a+b+c

b-a

的最小值为

3

．

Answer 1

分析：由题意得f'（x）=ax²+bx+c在R上恒大于或等于0，得a＞0，△=b²-4ac≤0，将此代入

a+b+c

b-a

，将式子进行放缩，以

b

a

为单位建立函数关系式，最后构造出运用基本不等式的模型使问题得到解决．

解答：解：由题意f'（x）=ax²+bx+c≥0在R上恒成立，则a＞0，△=b²-4ac≤0．
∴

a+b+c

b-a

=

a2+ab+ac

ab-a2

≥

a2+ab+ 1 4 b2

ab-a2

=

1+ b a + 1 4 ( b a )2

b a -1

令t=

b

a

(t＞1)，

a+b+c

b-a

≥

1+t+ 1 4 t2

t-1

=

1

4

(t+2)2

t-1

=

1

4

(t-1+3)2

t-1

=

1

4

(t-1+

9

t-1

+6)≥3．（当且仅当t=4，即b=4a=4c时取“=”）
故答案为：3

点评：本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题，属于中档题．