Question

已知三次函数f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d(a＜b)在R上单调递增，则

a+b+c

b-a

的最小值为

 

．

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性、二次函数的单调性即可得出．

解答：解：f^′（x）=ax²+2bx+c．
∵三次函数f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d(a＜b)在R上单调递增，
∴f^′（x）≥0在R上恒成立（不恒等于0），
∴

a＞0 △=4b2-4ac≤0

，即a＞0，b²≤ac，
∴c≥

b2

a

，
∴

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 a

b-a

=

a2+ab+b2

a(b-a)

≥

a2+ab+b2

( a+b-a 2 )2

，当且仅当a=b-a，即b=2a时取等号，
故

a+b+c

b-a

的最小值为

a2+2a2+4a2

a2

=7
故答案为7

点评：熟练掌握导数研究函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．