Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线为．

（）若直线的斜率为，求函数的单调区间．

（）若函数是区间上的单调函数，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为；（2）或

【解析】试题分析：（1）求得的导数，可得切线的斜率，由条件可得，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（2）由题意可得当函数在递增（或递减），即有或）对成立，只要在上的最小值（或最大值）大于等于0即可．求出二次函数的对称轴，讨论区间和对称轴的关系，求得最小值（或最大值），解不等式即可得到所求范围.

试题解析：（）由得，

若曲线在点处的切线的斜率为，

则，

∴， ，

令，得或；

令，得，

∴函数的单调增区间为和，单调减区间为．

（）①当函数在区间上单调递减时， 对成立，

即对成立，

根据二次函数的性质，只需要，

解得，

又，所以；

②当函数在区间上单调递增时， 对成立，

只需在上的最小值大于等于即可，

函数的对称轴为，

当时， 在上的最小值为，

∴，解得或，

此种情形不成立；

当时， 在上的最小值为，

∴，解得；

综上所述，实数的取值范围是或．