Question

【题目】设函数．

（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；

（2）设， 是的导函数．

①若对任意的，求证：存在使；

②若，求证： ．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②.证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意， 对恒成立，根据，等价为对恒成立，即可求得得取值范围；（2）①分别求得与，若，则存在，使，从而得，取，则，即可证明；②不妨设，令，则，由（1）知函数单调递增，则，从而，根据，推出，只需证明成立，即只需证明成立，设，求得函数的单调性，即可证明.

试题解析：（1）由题意， 对恒成立.

∵

∴对恒成立，

∵

∴，从而．

（2）①，则．

若，则存在，使，不合题意.

∴．

取，则．

此时．

∴存在，使．

②依题意，不妨设，令，则．

由（1）知函数单调递增，则，从而．

∵

∴

∴．

∴．

下面证明，即证明，只要证明．

设，则在恒成立．

∴在单调递减，故，从而得证．

∴，即．