Question

设a＞0，f(x)=是R上的偶函数.

（1）求a的值；

（2）证明f(x)在(0,+∞)上为增函数.

Answer 1

（1）解：依题意，对一切x∈R，有f(-x)=f(x)，即+ae^x=.

∴(a-)(e^x-)=0对一切x∈R成立.则a- =0.

∴a=±1.∵a＞0，∴a=1.

（2）证明：设0＜x₁＜x₂，则

f(x₁)-f(x₂)=-+

=(-)()

= (-1).

由x₁＞0,x₂＞0,x₂-x₁＞0，得x₁+x₂＞0，-1＞0，1-＜0,∴f(x₁)-f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂).

∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.