Question

设a＞0，f(x)=

2x

a

-

a

2x

是R上的奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在R上为增函数；
（Ⅲ）解不等式：f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）是R上的奇函数，得f（0）=0，求出a的值；
（Ⅱ）用单调性的定义证明f（x）在R上是增函数；
（Ⅲ）由f（x）是R上的奇函数，且是增函数，把不等式化为1-m＜m²-1，从而求出m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

2x

a

-

a

2x

是R上的奇函数，
∴f（0）=0，即

1

a

-a=0，
∴a=±1，
∵a＞0，∴取a=1；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=2^x-

1

2x

，现证明f（x）在R上是增函数；
任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂；
∴f（x₁）-f（x₂）=（2x1-

1

2x1

）-（2x2-

1

2x2

）
=（2x1-2x2）+

2x1-2x2

2x12x2

=（2x1-2x2）（1+

1

2x12x2

）；
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，1+

1

2x12x2

＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上是增函数；
（Ⅲ）∵f（1-m）+f（1-m²）＜0，
即f（1-m）＜-f（1-m²）；
又∵f（x）是R上的奇函数，
∴-f（1-m²）=f（m²-1），
∴f（1-m）＜f（m²-1）；
又∵f（x）是R上的增函数，
∴1-m＜m²-1，
即m²+m-2＞0，
解得m＞1或m＜-2；
∴解集为{m|m＞1或m＜-2}．

点评：本题考查了函数的单调性与奇偶性的判定与证明以及应用问题，是中档题．