Question

双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₂且垂直于x轴的直线与双曲线相交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为________．

Answer 1

分析：因为，所以AF₁与BF₁互相垂直，结合双曲线的对称性可得：△AF₁B是以AB为斜边的等腰直角三角形．由此建立关于a、b、c的等式，化简整理为关于离心率e的方程，解之即得该双曲线的离心率．
解答：根据题意，得右焦点F₂的坐标为（c，0）
联解x=c与，得A（c，），B（c，-）
∵
∴AF₁与BF₁互相垂直，△AF₁B是以AB为斜边的等腰Rt△
由此可得：|AB|=2|F₁F₂|，即=2×2c
∴=2c，可得c²-2ac-a²=0，两边都除以a²，得e²-2e-1=0
解之得：e=（舍负）
故答案为：
点评：本题给出经过双曲线右焦点并且与实轴垂直的弦，与左焦点构成直角三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．