Question

（2011•天津模拟）如图，椭圆

x 2

a 2

+

y 2

b2

=1(a＞b＞0)与一等轴双曲线相交，M是其中一个交点，并且双曲线在左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F₁、F₂，双曲线的左、右焦点分别是椭圆左、右顶点，△MF₁F₂的周长为（4

2

+1），设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A，B和C，D．
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁•k₂=1；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知，确定双曲线、椭圆离心率，根据△MF₁F₂的周长，即可求得椭圆的标准方程，根据双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，可求双曲线的标准方程，；
（2）设点P（x₀，y₀），根据斜率公式求得k₁、k₂，利用点P在双曲线上，即可证明结果；
（3）设直线AB、CD的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理，即可求得|AB|，|CD|，代入|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，求得λ的值．

解答：（1）解：由题意知，双曲线的离心率为

2

，椭圆离心率为

c

a

=

2

2

，∴a=

2

c
∵2a+2c=4（

2

+1），∴a=2

2

，c=2，∴b²=a²-c²=4，
∴椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
∴椭圆的焦点坐标为（±2，0），
∵双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，
∴该双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

4

=1．
（2）证明：设点P（x₀，y₀），则k₁=

y0

x0+2

，k₂=

y0

x0-2

，
∴k₁•k₂=

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

y02

x02-4

，
又点P（x₀，y₀）在双曲线上，∴y₀²=x₀²-4，
∴k₁•k₂=

y02

x02-4

=1．
（3）解：假设存在常数λ，使得得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立，则由（2）知k₁•k₂=1，
∴设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=

1

k

（x-2），
由方程组

y=k(x+2) x2 8 + y2 4 =1

消y得：（2k²+1）x²+8k²x+8k²-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x2，y₂），则由韦达定理得，x₁+x₂=-

8k2

2k2+1

，x₁•x₂=

8k2-8

2k2+1

，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

4 2 (1+k2)

2k2+1

，
同理可得|CD|=

4 2 (1+k2)

2+k2

∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，
∴λ=

1

|AB|

+

1

|CD|

=

3 2

8

∴存在常数λ=

3 2

8

，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．

点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．