题目内容
（理）已知等差数列
的公差是
，
是该数列的前
项和.
（1）试用
表示
，其中
、均为正整数；
（2）利用（1）的结论求解：“已知
，求”；
（3）若数列前
项的和分别为
，试将问题（1）推广，探究相应的结论. 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前
项和
，前
项和
，求数列的前2010项的和
.”
的公差是
，
是该数列的前
项和.（1）试用
表示
，其中
、均为正整数；（2）利用（1）的结论求解：“已知
，求”；（3）若数列
前
项的和分别为
，试将问题（1）推广，探究相应的结论. 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价.问题：“已知等差数列的前
项和
，前
项和
，求数列的前2010项的和
.”
（1）解：不妨设
，则有
，∴
.（2）（文科）解法一：由条件，可得
得：
，由（1）中结论得：
。解法二：
，则
。（理）由条件，可得
得：
，则
.（3）（理科）推广的结论为：若公差为
的等差数列的前项和为
，则该数列的前
项和为：
+ 
…………（
）对正整数
，可用数学归纳法证明如下：1
当
时，由问题（1）知
，等式（）成立；2
假设当
时结论成立，即
，当
时，
，这表明对
等式（）也成立；根据1
、2知，对一切正整数
，（）式都成立.利用以上结论，问题解法如下：
由
，则利用探究结论可得：
.不利用以上结论，解法如下：
由
得：
；代入①可得
.所以，
.
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满足
，其中
，求
值，猜想
，并用数学归纳法加以证明。
的前n项和
，其中
是首项为1，公差为2的等差数列，
，求数列
的前n项和
满足
，
，
，则
▲ ．
，对于任意的
，都有
.
的取值范围；
，证明
；
. 
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数
满足：
，
,n∈N*，考察下列结论：①
②数列{an}为等比数列；③数列{bn}为等差数列。其中正确的结论是 
为等差数列
的前
项和，若
，则
。