Question

（1）f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx，a∈R，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x₂＞x₁＞0，求证：(1+x1)x2＞(1+x2)x1．

Answer 1

分析：（1）求出f/(x)=x-a-1+

a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，然后分a≤0和0＜a＜1和a=1以及a＞1时四种情况，分别讨论导数的零点，可以得到单调性的四种不同情况；
（2）构造函数h(x)=

ln(1+x)

x

，x＞0，通过讨论h′（x）的单调性得出h′（x）在（0，+∞）上的最大值小于零，从而h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此h（x）在（0，+∞）上单调递减．再根据0＜x₁＜x₂时，结合
h（x）单调减可得(1+x1)x2＞(1+x2)x1．

解答：解：（1）f/(x)=x-a-1+

a

x

=

(x-a)(x-1)

x

     （x＞0）
∴①当a≤0时，f（x）在区间（0，1）上是增函数，在区间（1，+∞）是减函数；
②当0＜a＜1时，f（x）在区间（0，a）是增函数，在区间（a，1）是减函数，在区间（1，+∞）是增函数
③当a=1时，f（x）在区间（0，+∞）是增函数
④当a＞1时，f（x）在区间（0，1）是增函数，（1，a）是减函数，（a，+∞）是增函数------------------（6分）
（2）令h(x)=

ln(1+x)

x

，x＞0，由h′(x)=

x 1+x -ln(1+x)

x2

，
又令p(x)=

x

1+x

-ln(1+x)，x＞0，∴p′(x)=

1

(1+x)2

-

1

1+x

=

-x

(1+x)2

＜0
∴p（x）在[0，+∞）单调递减----------------------（8分）
∴当x＞0时，p（x）＜p（0）=0，
∴当x＞0时，h'（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）单调递减．------------（10分）
∴0＜x₁＜x₂时，有

ln(1+x1)

x1

＞

ln(1+x2)

x2

，
∴x₂ln（1+x₁）＞x₁ln（1+x₂），
∴(1+x1)x2＞(1+x2)x1-----（12分）

点评：本小题主要考查函数的导数，单调性，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．