Question

设f^-1（x）是函数f(x)=

1

2

(2x-2-x)的反函数，则使f^-1（x）＞1成立的x的取值范围为（　　）

• A．（

  3

  4

  ，+∞）
• B．（-∞，

  3

  4

  ）
• C．（

  3

  4

  ，2）
• D．[2，+∞）

Answer 1

分析：首先由函数f（x）=

1

2

（2^x-2^-x）求其反函数，要用到解指数方程，整体换元的思想，将2^x看作整体解出，然后由f^-1（x）＞1构建不等式解出即可．

解答：解：由题意设y=

1

2

（2^x-2^-x）整理化简得2^2x-2y2^x-1=0，
解得：2x=y±

y2+1

∵2^x＞0，∴2x=y+

y2+1

，
∴x=log₂（y+

y2+1

）
∴f^-1（x）=log₂（x+

x2+1

）
由使f^-1（x）＞1得log₂（x+

x2+1

）＞1
∵2＞1，∴x+

x2+1

＞2
由此解得：x＞

3

4

故选A．

点评：本题考查反函数的概念、求反函数的方法、解指数方程、解不等式等知识点，有一定的综合性，属于中档题．