题目内容
已知函数f（x）在其定义域上满足xf（x）+2af（x）=x+a-1（a＞0）．
（1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当f(x)∈[
，
]时，求x的取值范围；
（3）若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
恒成立，求最小的N；
②若an+1=f（an），求证：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
．
（1）函数y=f（x）的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；
（2）当f(x)∈[
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
（3）若f（0）=0，数列{an}满足a1=1，那么：
①若0＜an+1≤f（an），正整数N满足n＞N时，对所有适合上述条件的数列{an}，an＜
| 1 |
| 10 |
②若an+1=f（an），求证：a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
| 3 |
| 7 |
分析：（1）依题意有（x+2a）f（x）=x+a-1．若x=-2a，得a=-1，这与a＞0矛盾，故x≠-2a，所以f(x)=
=1-
(x≠-2a)，由此知y=f（x）的图象是中心对称图形，并能求出其对称中心．
（2）由f(x)∈[
，
]，知
，由a＞0，能求出x的取值范围．
（3）①由f（0）=0得a=1，故f(x)=
．由0＜an+1≤
，得
+1≥2(
+1)．令bn=
+1，则bn+1≥2bn，由此能求推导出满足题设要求的最小正整数．
②由an=
，知anan+1=
，a1a2=
＜
，a1a2+a2a3=
+
=
＜
，故当n=1，2时，不等式成立．当n≥2时，由
=
=
•
＜
，能够证明a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1＜
．
| x+a-1 |
| x+2a |
| a+1 |
| x+2a |
（2）由f(x)∈[
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
|
（3）①由f（0）=0得a=1，故f(x)=
| x |
| x+2 |
| an |
| an+2 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
②由an=
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| (2n-1)•(2n+1-1) |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 7 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 21 |
| 16 |
| 42 |
| 3 |
| 7 |
| anan+1 |
| an-1an |
| 2n-1-1 |
| 2n+1-2 |
| 1 |
| 2 |
| 2n-1-1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 7 |
解答：解：（1）依题意有（x+2a）f（x）=x+a-1．
若x=-2a，则x+a-1=-a-1=0，得a=-1，这与a＞0矛盾，
∴x≠-2a，
∴f(x)=
=1-
(x≠-2a)，
故y=f（x）的图象是中心对称图形，其对称中心为点（-2a，1）．
（2）∵f(x)∈[
，
]，
∴
即
又∵a＞0，∴
得x∈[2，3a+5]．
（3）①由f（0）=0得a=1，
∴f(x)=
．
由0＜an+1≤
得
≥2×
+1，
即
+1≥2(
+1)．
令bn=
+1，则bn+1≥2bn，
又∵an＞0，∴bn＞0，∴
≥2．
∵a1=1，∴b1=2，
∴当n≥2时，bn=b1×
×
×…×
≥
=2n．
又∵b1=2也符合bn≥2n，
∴bn≥2n（n∈N*），即
+1≥2n，
得an≤
(n∈N*)．
要使an＜
恒成立，
只需
＜
，即2n＞11，
∴n＞3．故满足题设要求的最小正整数N=3．
②由①知an=
，
∴anan+1=
，
a1a2=
＜
，
a1a2+a2a3=
+
=
＜
，
∴当n=1，2时，不等式成立．
当n≥2时，
∵
=
＜
，
∴anan+1＜
•an-1an＜(
)2•an-2an-1＜…＜(
)n-2•a2a3=
•(
)n-2，
∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1≤
+
(
+
+
+…+
)
=
+
(1-
)＜
+
=
=
．
若x=-2a，则x+a-1=-a-1=0，得a=-1，这与a＞0矛盾，
∴x≠-2a，
∴f(x)=
| x+a-1 |
| x+2a |
| a+1 |
| x+2a |
故y=f（x）的图象是中心对称图形，其对称中心为点（-2a，1）．
（2）∵f(x)∈[
| 1 |
| 2 |
| 4 |
| 5 |
∴
|
|
又∵a＞0，∴
|
得x∈[2，3a+5]．
（3）①由f（0）=0得a=1，
∴f(x)=
| x |
| x+2 |
由0＜an+1≤
| an |
| an+2 |
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
即
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| an |
令bn=
| 1 |
| an |
又∵an＞0，∴bn＞0，∴
| bn+1 |
| bn |
∵a1=1，∴b1=2，
∴当n≥2时，bn=b1×
| b2 |
| b1 |
| b3 |
| b2 |
| bn |
| bn-1 |
| ||
| n个 |
又∵b1=2也符合bn≥2n，
∴bn≥2n（n∈N*），即
| 1 |
| an |
得an≤
| 1 |
| 2n-1 |
要使an＜
| 1 |
| 10 |
只需
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 10 |
∴n＞3．故满足题设要求的最小正整数N=3．
②由①知an=
| 1 |
| 2n-1 |
∴anan+1=
| 1 |
| (2n-1)•(2n+1-1) |
a1a2=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| 7 |
a1a2+a2a3=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 21 |
| 16 |
| 42 |
| 3 |
| 7 |
∴当n=1，2时，不等式成立．
当n≥2时，
∵
| anan+1 |
| an-1an |
| 2n-1-1 |
| 2n+1-1 |
| 1 |
| 2 |
∴anan+1＜
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 2 |
∴a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1≤
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 21 |
| 1 |
| 20 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 2n-2 |
=
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 21 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 21 |
| 18 |
| 42 |
| 3 |
| 7 |
点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查数列的性质和应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对计算能力的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
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恒成立，求最小的N；
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