Question

某厂家拟在2003年国庆节期间举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3-(k为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件，已知2003年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).

(1)将2003年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2003年的促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？

Answer 1

解：(1)依题意得m=0时，x=1,代入x=3-，得k=2,即x=3-.

    设2003年生产该产品x万件，则年成本为8+16x=8+16(3-)(万元)，年利润y=28-m-(m≥0)即为所求.

(2)∵y=29-［(m+1)+］≤29-=21,当且仅当m+1=,即m=3时，等号成立，

∴y_max=21(万元).