Question

（2013•浙江模拟）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，则k的取值范围是

k≤

2

．

Answer 1

分析：由lnx+lny=0得，xy=1，分离出参数k后不等式变为k≤（x+2y）-

4

x+2y

，令m=x+2y，则问题转化为k≤(m-

4

m

)min，由基本不等式可求得m范围，根据y=m-

4

m

的单调性可求得其最小值，从而得到k的取值范围．

解答：解：由lnx+lny=0得，xy=1，
k（x+2y）≤x²+4y²，即k≤

x2+4y2

x+2y

=

(x+2y)2-4

x+2y

=(x+2y)-

4

x+2y

，
令m=x+2y，则k≤(m-

4

m

)min，
因为m=x+2y≥2

2xy

=2

2

，且y=m-

4

m

在[2

2

，+∞）上递增，
所以m=2

2

时，(m-

4

m

)min=2

2

-

4

2 2

=

2

，
所以k≤

2

，
故答案为：k≤

2

．

点评：本题考查函数单调性、基本不等式等知识，考查恒成立问题，考查函数思想，转化为函数最值问题是解决恒成立问题的常用方法．