Question

10．已知函数f（x）=2^|x-a|+|x+1|，a∈R．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，且g（x）在区间[2，+∞）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的定义，建立方程，即可求a的值；
（2）利用函数g（x）和f（x）的图象关于原点对称，求出g（x），g（x）在区间[2，+∞）上是减函数，y=|x+a|+|x-1|在区间[2，+∞）上是增函数，即可求a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=2^|x-a|+|x+1|为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴2^{|-x-a|+|-x+1|}=2^|x-a|+|x+1|，
∴a=1；
（2）函数g（x）的图象上取点（x，y），关于原点对称（-x，-y），满足f（x）=2^|x-a|+|x+1|，
∴-y=2^{|-x-a|+|-x+1|}，
∴g（x）=-2^|x+a|+|x-1|，
∵g（x）在区间[2，+∞）上是减函数，
∴y=|x+a|+|x-1|在区间[2，+∞）上是增函数，
-2≤a≤-1，x＞-a，y=2x+a-1在区间[2，+∞）上是增函数，
∴-2≤a≤-1．

点评 本题考查偶函数的定义，函数图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．