Question

17．正三棱台的上、下底面边长及高分别为1，2，2，则它的斜高是$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 正三棱台ABC-A₁B₁C₁的上、下底面边长A₁B₁=1，AB=2，高OO₁=2，连结A₁O₁交延长交B₁C₁于E，连结AO并延长，交BC于D，连结DF，过点E作EF⊥AD，交AD于F，由此利用三角形重心定定理和勾股定理能求出正三棱台ABC-A₁B₁C₁的斜高．

解答 解：正三棱台ABC-A₁B₁C₁的上、下底面边长A₁B₁=1，AB=2，高OO₁=2，
O，O₁是等边三角形△ABC、△A₁B₁C₁的重心，
连结A₁O₁交延长交B₁C₁于E，连结AO并延长，交BC于D，
连结DF，过点E作EF⊥AD，交AD于F，
则${O}_{1}E=OF=\frac{\sqrt{3}}{6}$，DF=OD=OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴正三棱台ABC-A₁B₁C₁的斜高：
DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{4+\frac{3}{36}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查正三棱锥的斜高的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意三棱锥的结构特征和三角形重心的性质的合理运用．