题目内容
在△ABC中，AC=10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD=5，且满足
=
．
（1）求|
-
|；
（2）存在实数t≥1，使得向量x=
+t
， y=t
+
，令k=x•y，求k的最小值．
| AD |
| 5 |
| 11 |
| DB |
（1）求|
| AB |
| AC |
（2）存在实数t≥1，使得向量x=
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
（1）∵AD=5，且满足
=
．
∴A，B，D三点共线，且DB=11
在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2=75，
在Rt△BDC中，BC2=DB2+CD2=196，∴BC=14
∴|
-
|=|
|=14；
（2）由（1），利用余弦定理，可得cosA=
=
∵
=
+t
，
=t
+
∴k=
•
=t|
|2+(t2+1)
•
+t|
|2=80t2+356t+80
∵t≥1，
∴t=1时，k取得最小值为516．
| AD |
| 5 |
| 11 |
| DB |
∴A，B，D三点共线，且DB=11
在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2=75，
在Rt△BDC中，BC2=DB2+CD2=196，∴BC=14
∴|
| AB |
| AC |
| CB |
（2）由（1），利用余弦定理，可得cosA=
| 256+100-196 |
| 2•16•10 |
| 1 |
| 2 |
∵
| x |
| AB |
| AC |
| y |
| AB |
| AC |
∴k=
| x |
| y |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
∵t≥1，
∴t=1时，k取得最小值为516．
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