题目内容
“a≤0”是“函数f（x）=x（
x2+
x-1）在区间（0，+∞）上单调递增”的（ ）
| a |
| 3 |
| a-1 |
| 2 |
| A、充分必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分不必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：简易逻辑
分析：对a分类讨论，利用导数研究函数f（x）的单调性即可得出．
解答：
解：f（x）=
x3+
x2-x，
∴f′（x）=ax2+（a-1）x-1，
当a=0时，x＞0时，f′（x）=-x-1＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当a≠0时，f′（x）=a(x-
)(x+1)．
当a＜0时，x＞0时，f′（x）＜0，因此函数f（x）单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞
，因此函数f（x）在区间（0，+∞）上不单调递增．
综上可得：“a≤0”是“函数f（x）=x（
x2+
x-1）在区间（0，+∞）上单调递增”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
| a |
| 3 |
| (a-1) |
| 2 |
∴f′（x）=ax2+（a-1）x-1，
当a=0时，x＞0时，f′（x）=-x-1＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当a≠0时，f′（x）=a(x-
| 1 |
| a |
当a＜0时，x＞0时，f′（x）＜0，因此函数f（x）单调递减；
当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＞
| 1 |
| a |
综上可得：“a≤0”是“函数f（x）=x（
| a |
| 3 |
| a-1 |
| 2 |
故选：D．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、充要条件的判定，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．
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