Question

椭圆的两焦点为F₁，F₂，（O为坐标原点），P为椭圆上一点，OP，F₂P的斜率分别为和．
（1）求证：；
（2）若△OPF₁的面积为3，求椭圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法一 依题意，令∠PF₂O=α，∠POF₁=γ，则．所以γ=2α=α+β，α=β．OP=OF₂=OF₁，θ+β=90°，由此能证明．
解法二 设 P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），由题意，得，．所以由此能够证明．
（2）在Rt△PF₁F₂中，PF₁=4m，所以，由此能求出椭圆方程．
解答：解：（1）解法一 依题意，
令∠PF₂O=α，∠POF₁=γ，
则．
∴γ=2α=α+β，
∴α=β．
∴OP=OF₂=OF₁，
θ+β=90°，
所以．
解法二 设 P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由题意，得，①
． ②
由①、②，可知
∴．
∴，
∴PF₁⊥PF₂，
∴．
（2）在Rt△PF₁F₂中，PF₁=4m，
∴，
所以m=1，2a=7，2c=5，
∴b²=6．
所以椭圆方程为．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．