题目内容

在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量 $数学公式$ =（1，2sinA）， $数学公式$ =（sinA，1+cosA），满足 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，b+c= $数学公式$ a．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sin（B+ $数学公式$ ）的值．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，得2sin²A-1-cosA=0，
即2cos²A+cosA-1=0，
∴cosA= $\text{[math]}$ 或cosA=-1．
∵A是△ABC内角，cosA=-1舍去，
∴A= $\text{[math]}$ ．

（Ⅱ）∵b+c= $\text{[math]}$ a，由正弦定理，
sinB+sinC= $\text{[math]}$ sinA= $\text{[math]}$ ，
∵B+C= $\text{[math]}$ ，sinB+sin（ $\text{[math]}$ -B）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ cosB+ $\text{[math]}$ sinB= $\text{[math]}$ ，
即sin（B+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：（I）根据所给的向量的坐标和向量平行的条件，写出向量平行的充要条件，得到关于角A的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果．
（II）本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，和b+c= $\text{[math]}$ a．根据正弦定理把边之间的关系变化为角之间的关系，逆用两角和的正弦公式，得到结果．
点评：本题是向量平行的运算，条件中给出两个向量的坐标，代入共线的充要条件的公式运算即可，只是题目所给的模不是数字，而是用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换．本题是一个综合题．