Question

【题目】已知抛物线上的两个动点， 的横坐标，线段的中点坐标为，直线与线段的垂直平分线相交于点.

（1）求点的坐标；

（2）求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）根据题设条件可求出线段的斜率，进而求出线段的垂直平分线方程，联立直线与线段的垂直平分线方程，即可求出点的坐标；（2）联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理及弦长公式求出线段的长，再求出点到直线的距离，即可求出的表达式，再构造新函数，即可求出最大值.

试题解析：（1）∵，有，又点M不在抛物线C上，有，而， ，

∴线段的斜率为 ，

∴线段的垂直平分线方程为，即，

由得，

即，得， ，

∴点的坐标.

（2）直线的方程为，

由得，

∵，∴，结合（1）得，

又， ，

∴ ，

又点到直线的距离，

∴ ，

设， ，

则 ，

令得 (舍去)， ，

由于时， ， 单调递增，

时， ， 单调递减，

∴当时， 取得最大值，即的面积取得最大值，

故的面积的最大值为 ．