题目内容

设数列{a_n} 为等差数列，且a₅=14，a₇=20，数列{b_n} 的前n项和为S_n=1- $数学公式$ （n∈N^*），
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若cn=a_n•b_n，n=1，2，3，…，求数列{c_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）解：∵数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，
∴公差d= $\text{[math]}$ =3，
∵a₅=a₁+4×3=14，
∴a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）×3=3n-1．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n=1- $\text{[math]}$ （n∈N^*），
∴ $\text{[math]}$ ，
b_n=S_n-S_n-1=[1- $\text{[math]}$ ]-[1- $\text{[math]}$ ]= $\text{[math]}$ ，
当n=1时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由a_n=3n-1， $\text{[math]}$ ，
得c_n=a_n•b_n= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ T_n= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
两式相减，得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20，能得到公差d=3，首项a₁=2．由此能求出{a_n}的通项公式；由数列{b_n}的前n项和为S_n=1- $\text{[math]}$ （n∈N^*），由 $\text{[math]}$ ，能求出{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）由a_n=3n-1， $\text{[math]}$ ，得c_n=a_n•b_n= $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，再由错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查数列的通项公式和数列的前n项和的计算，综合性强，强难大，是高考的重点．解题时要认真审题，注意迭代法和错位相减法的合理运用．